熱機関のp–V図とカルノーサイクル｜中央大学2026年物理第Ⅲ問

中央大学 2026年度 · 物理

問題文・図

理工3学部（一般・英外）第Ⅲ問

中央大学2026年度理工3学部（一般・英外）物理第Ⅲ問：問題 17ページの問題文・図・選択肢 — 問題 17ページ · 公式PDF 19ページ

中央大学2026年度理工3学部（一般・英外）物理第Ⅲ問：問題 18ページの問題文・図・選択肢 — 問題 18ページ · 公式PDF 20ページ

中央大学2026年度理工3学部（一般・英外）物理第Ⅲ問：問題 19ページの問題文・図・選択肢 — 問題 19ページ · 公式PDF 21ページ

中央大学2026年度理工3学部（一般・英外）物理第Ⅲ問：問題 20ページの問題文・図・選択肢 — 問題 20ページ · 公式PDF 22ページ

出題：中央大学。公式問題の該当箇所を抜粋。原本PDF ↗

条件を整理する

n molの単原子理想気体が、A→Bで温度T₁の等温膨張、B→Cで断熱膨張、C→DでT₂の等温圧縮、D→Aで断熱圧縮を行います。T₁＞T₂、体積VA・VBを指定。比熱比、状態C・D、内部エネルギー変化、図の面積と熱効率の関係を問う第Ⅲ問です。

まず、答えから

等温・断熱を組み合わせた熱機関の効率は？

高温T₁、低温T₂（絶対温度）で動くこの可逆サイクルの熱効率は1−T₂/T₁です。p–V図のループ内部の面積が正味の仕事、高温の等温膨張の曲線下の面積が吸収熱。単原子理想気体の比熱比は5/3です。

さわって理解する

低温側の温度を変えると、仕事の面積は？

例としてT₁＝600 K、nR＝1 J/K、VA＝1 m³、VB＝2 m³。T₂を動かすと断熱曲線も変わります。青が等温過程、緑が断熱過程。囲まれた領域が1サイクルの正味の仕事です。

T₂＝300 K · 熱効率 50% · 吸収熱 415.888 J · 正味の仕事 207.944 J

解法を、順番に。

STEP 01

単原子理想気体の比熱比は5/3

内部エネルギーU＝(3/2)nRTから、定積モル比熱CV＝3R/2です。マイヤーの関係Cp＝CV＋RでCp＝5R/2となり、γ＝Cp/CV＝5/3。

等温部分では理想気体の内部エネルギーは変わりません。AとBの圧力は状態方程式を、そのまま各体積に適用します。

\gamma=\frac{C_p}{C_V}=\frac53,\quad p_A=\frac{nRT_1}{V_A},\quad p_B=\frac{nRT_1}{V_B}

STEP 02

断熱変化はTV^(γ−1)が一定

pV^γ一定にpV＝nRTを代入すると、TV^(γ−1)一定になります。γ−1＝2/3なので、温度が下がったあとの体積は(T₁/T₂)^(3/2)倍。

CとDの体積はそれぞれBとAの体積に同じ倍率を掛けるので、VC/VD＝VB/VAです。これが最後の熱効率を簡単にします。

V_C=V_B\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{3/2},\quad V_D=V_A\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{3/2}

p_C=\frac{nR T_2^{5/2}}{V_B T_1^{3/2}},\quad p_D=\frac{nR T_2^{5/2}}{V_A T_1^{3/2}}

STEP 03

断熱では、外にした仕事だけ内部エネルギーが減る

気体が外にした仕事をWとすればΔU＝Q−W。断熱のB→CではQ＝0なので、曲線下の面積だけ内部エネルギーが減ります。D→Aでは圧縮されるため増え、増減量は打ち消し合います。

問題の微小変化では(1＋x)^a≃1＋axを使い、ΔV≃(3/2)VB ΔT/T₁。pBを掛けると(3/2)nRΔTとなり、内部エネルギー式と一致します。

\Delta U_{B\to C}=-\frac32nR(T_1-T_2),\quad \Delta U_{D\to A}=+\frac32nR(T_1-T_2)

\Delta V\simeq\frac32V_B\frac{\Delta T}{T_1}

STEP 04

ループの面積を、吸収した熱で割る

等温膨張A→BではΔU＝0なので、曲線下の面積ABbaAが吸収熱QH。等温圧縮C→Dで放出する熱の大きさQCは面積DCcdDです。正味の仕事はループABCDAの面積になります。

積分で確かめるとQH＝nRT₁ log(VB/VA)、QC＝nRT₂ log(VC/VD)。体積比が等しいため、QC/QH＝T₂/T₁となります。対数で表す部分は、面積の説明を補う独自の別解です。

\eta=\frac{W_{\rm net}}{Q_H}=1-\frac{Q_C}{Q_H}=1-\frac{T_2}{T_1}

Q_H=nRT_1\ln\frac{V_B}{V_A},\quad Q_C=nRT_2\ln\frac{V_C}{V_D}

3問で、思い出す

解き方、つかめた？

ここからはCurigo独自の確認クイズです。選んだあと、理由まで確かめましょう。

0 / 3 問を確認

よくある疑問

p–V図のどの面積が正味の仕事？

1サイクルのループが囲む面積です。時計回りなら気体が外にする正味の仕事が正になります。

なぜ効率は100%より小さい？

このサイクルは低温側へ熱を放出し、T₂＞0 Kでは1−T₂/T₁が1より小さくなるからです。

出典・解答の確認

出題：中央大学 2026年度理工3学部（一般・英外）（2026-02-15実施）物理第Ⅲ問。問題文・図・選択肢は大学公式PDFの該当箇所を抜粋して掲載しています。「条件を整理する」はCurigoによる要約です。

解説・計算図・確認クイズはCurigoが独自に作成。公開されている解答例との照合に加え、代入・式変形・全列挙・数値計算など、設問に応じた検算を行っています。図の操作は理解を助けるためのもので、証明は本文に示しています。

編集・検証方針 · 誤りの連絡：Curigo編集部