誘電体入りコンデンサーの直列合成。電池の仕事とエネルギー｜中央大学2026 理工3学部（一般・英外）物理第Ⅱ問実験2(5)〜(11)

中央大学 2026年度 · 物理

問題文・図

理工3学部（一般・英外）第Ⅱ問実験2(5)〜(11)

中央大学2026年度理工3学部（一般・英外）物理第Ⅱ問実験2(5)〜(11)：問題 10ページの問題文・図・選択肢 — 問題 10ページ · 公式PDF 12ページ

中央大学2026年度理工3学部（一般・英外）物理第Ⅱ問実験2(5)〜(11)：問題 12ページの問題文・図・選択肢 — 問題 12ページ · 公式PDF 14ページ

中央大学2026年度理工3学部（一般・英外）物理第Ⅱ問実験2(5)〜(11)：問題 13ページの問題文・図・選択肢 — 問題 13ページ · 公式PDF 15ページ

中央大学2026年度理工3学部（一般・英外）物理第Ⅱ問実験2(5)〜(11)：問題 8ページの問題文・図・選択肢 — 問題 8ページ · 公式PDF 10ページ

出題：中央大学。公式問題の該当箇所を抜粋。原本PDF ↗

条件を整理する

極板面積S=wl、誘電体の厚さd・誘電率εA、空気層の厚さy・誘電率ε₀。初めはy=2dで電圧Vの電源へ接続。その後スイッチを開いてy=dへ静かに縮め、再び同じ電源へ接続します。回路には抵抗Rがあり、各接続後は十分に時間が経った状態を考えます。

まず、答えから

空気層を縮めて電源につなぎ直すと、電池の仕事はどこへ行く？

電場方向に重なる誘電体と空気層は直列として扱います。電源を切って間隔を縮めるとQ一定のまま容量が増え、電圧は低下。再接続時の電池の仕事Wの一部は静電エネルギーの増分ΔU、残りは抵抗のジュール熱になります。

さわって理解する

3つの段階で、固定される量を追う

εA=3ε₀の比較例です。容量をC₀=ε₀S/d、電荷をC₀V、エネルギーをC₀V²で規格化し、接続→切離し・圧縮→再接続を切り替えます。

電源に接続して充電 · C/C₀=0.429 · 電圧/V=1

解法を、順番に。

STEP 01

電場方向に重なる2層は直列になる

誘電体層の容量はεA S/d、空気層はε₀S/y。電位差は2層の分を足し、電気変位に対応する電荷は共通なので、容量の逆数を足します。

以降、初期y=2dでの合成容量をCi、縮めたy=dでの容量をCfと置きます。記号を分けておくと、同じCに異なる段階を混ぜずに計算できます。

\frac1{C(y)}=\frac{d}{\varepsilon_A S}+\frac{y}{\varepsilon_0 S}

C_i=\frac{\varepsilon_A\varepsilon_0 S}{d(\varepsilon_0+2\varepsilon_A)},\quad C_f=\frac{\varepsilon_A\varepsilon_0 S}{d(\varepsilon_0+\varepsilon_A)}

STEP 02

切り離して縮める間はQが一定

初期の電荷はQi=CiV。スイッチを開いた後は電荷が出入りできないため、このQiを保存します。空気層を縮めるとCf>Ciなので、V₂=Qi/CfはVより小さくなります。

縮める前後で静電エネルギーが変わるのは、極板を動かす力学的な過程があるためです。その後の「電源へ再接続する区間」と、ここを混ぜないようにします。

Q_i=C_iV,\qquad V_2=\frac{C_i}{C_f}V=\frac{\varepsilon_0+\varepsilon_A}{\varepsilon_0+2\varepsilon_A}V<V

U_b=\frac{Q_i^2}{2C_f}=\frac{C_i^2V^2}{2C_f}

STEP 03

再接続後はVが一定になる

y=dに固定したまま電源へ戻すと、最終電圧はV、電荷はCfVへ増えます。再接続前後の容量は同じCfですが、電荷と電圧が変化します。

電荷の増分はΔQ=(Cf−Ci)V、電源の仕事は一定の起電力Vを掛けてW=VΔQです。静電エネルギーは前後の値を別々に求めて差を取ります。

U_a=\frac12C_fV^2,\qquad\Delta U=\frac12\left(C_f-\frac{C_i^2}{C_f}\right)V^2

\Delta Q=(C_f-C_i)V,\qquad W=(C_f-C_i)V^2

STEP 04

W−ΔUは正のジュール熱になる

式を引くと、W−ΔU=Cf(V−V₂)²/2で、再接続時の電圧差がある限り正になります。電池がした仕事をすべてコンデンサーのエネルギー増加と置くと、この熱を見落とします。

公式の選択肢は(5)h、(6)f、(7)b、(8)c、(9)d、(10)c、(11)aです。上のCi,Cfへ元の誘電率を代入して展開すると、それぞれの式に一致します。抵抗の値は過渡過程の時間に関わりますが、十分時間が経った前後のエネルギー収支はこの形です。

W-\Delta U=\frac{(C_f-C_i)^2}{2C_f}V^2=\frac12C_f(V-V_2)^2>0

3問で、思い出す

解き方、つかめた？

ここからはCurigo独自の確認クイズです。選んだあと、理由まで確かめましょう。

0 / 3 問を確認

よくある疑問

横から誘電体を入れる問題と何が違う？

横方向に面積を分けると電位差が共通で並列、電場方向に層を重ねると電位差を足すため直列です。

電池の仕事はいつも静電エネルギーの増分と同じ？

同じではありません。本問の再接続では差が抵抗のジュール熱になります。

出典・解答の確認

出題：中央大学 2026年度理工3学部（一般・英外）（2026年2月15日実施）物理第Ⅱ問実験2(5)〜(11)。問題文・図・選択肢は大学公式PDFの該当箇所を抜粋して掲載しています。「条件を整理する」はCurigoによる要約です。

解説・計算図・確認クイズはCurigoが独自に作成。公開されている解答例との照合に加え、代入・式変形・全列挙・数値計算など、設問に応じた検算を行っています。図の操作は理解を助けるためのもので、証明は本文に示しています。

編集・検証方針 · 誤りの連絡：Curigo編集部