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問題文・図
商学部B 第Ⅱ問
出題：中央大学。公式問題の該当箇所を抜粋。原本PDF ↗
条件を整理する
a₁=2,a₂=5,a₃=9,a₄=16。bₙ=aₙ₊₁−aₙ、cₙ=bₙ₊₁−bₙと定義し、cₙが等差数列であるとき、その公差とbₙ,aₙの一般項を求めます。
2,5,9,16,…から、2段の階差を使って一般項を求めるには？
cₙ=2n−1、bₙ=n²−2n+4、aₙ=n³/3−3n²/2+31n/6−2です。第2階差が等差数列という条件を使い、c→b→aの順に初項を足して戻します。
3段の数列を、同じ位置で追う
nを動かすとaₙ,bₙ,cₙが表示されます。下の段の値が、上の隣り合う2項の差に対応することを確認。
n=3 · aₙ=9 · bₙ=7 · cₙ=5
解法を、順番に。
まず2段の差を実際に書く
元の数列からb₁=5−2=3、b₂=9−5=4、b₃=16−9=7。さらにc₁=4−3=1、c₂=7−4=3です。
cₙが等差数列という条件があるため、公差は3−1=2と決まります。最初の4項だけで無条件にこの規則が続くと推測しているわけではありません。
cを足してbへ戻す
c₁=b₂−b₁、c₂=b₃−b₂と足すと、途中の項が消えます。c₁からcₙ₋₁までの和はbₙ−b₁。最後にb₁=3を戻します。
最初のn−1個の奇数の和は(n−1)²なので、bₙ=3+(n−1)²です。差の段を下りるときは引き算、元へ戻るときは初項＋和、と整理できます。
bを足してaへ戻す
同じ手順をもう一度使い、aₙ=a₁+Σbₖとします。和はk=1からn−1までです。nまで足すと、求めたいaₙではなくaₙ₊₁になってしまいます。
Σk²、Σk、定数4の和を分けて計算すると、三次式が得られます。第2階差が一次式だったこととも整合します。
初項と差の両方を検算する
n=1,2,3,4を入れると2,5,9,16に戻ります。さらに一般項の差aₙ₊₁−aₙを取ると、bₙ=n²−2n+4になることも確認できます。
n=1では和を空の和として0と考えれば、同じ式が使えます。入試答案でn≧2から導いた場合は、最後にn=1でも成立すると付記すると明確です。
解き方、つかめた？
ここからはCurigo独自の確認クイズです。選んだあと、理由まで確かめましょう。
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よくある疑問
なぜ初項を足す？
差を足して得られるのはaₙ−a₁だからです。aₙに戻すにはa₁を加えます。
階差を2回取ると必ず等差数列？
そうとは限りません。本問は第2階差が等差数列であると指定されています。
出典・解答の確認
出題：中央大学 2026年度 商学部B（2026年2月13日実施）数学 第Ⅱ問。問題文・図・選択肢は大学公式PDFの該当箇所を抜粋して掲載しています。「条件を整理する」はCurigoによる要約です。
解説・計算図・確認クイズはCurigoが独自に作成。公開されている解答例との照合に加え、代入・式変形・全列挙・数値計算など、設問に応じた検算を行っています。図の操作は理解を助けるためのもので、証明は本文に示しています。