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問題文・図
5学部共通選抜 第Ⅲ問
出題：中央大学。公式問題の該当箇所を抜粋。原本PDF ↗
条件を整理する
Sₙ＝2aₙ−4を満たす数列aₙと、b₁＝4、b₄＝13の等差数列bₙを扱います。各一般項、共通項の和、比aₙ/bₙが整数となる項を調べる問題です。条件を解説用に要約しています。
和の式から一般項と整数条件をどうつなぐ？
隣り合う和を引くと aₙ＝2ⁿ⁺¹、等差数列は bₙ＝3n＋1。共通項は cₙ＝4ⁿです。aₖ/bₖ が整数になる添字は k＝(4ⁿ−1)/3、その値をdₙとすると log₂dₙ＝(4ⁿ−6n＋2)/3 になります。
数列を並べて、共通する値を探そう
表示する項数を増やすと、青の等比数列と緑の等差数列が並びます。共通する値に印がつきます。大きい値も読めるよう、表は横にスクロールできます。
| aₙ | 4共通項 | 8 | 16共通項 | 32 | 64共通項 | 128 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| bₙ | 4共通項 | 7 | 10 | 13 | 16共通項 | 19 |
共通する値：4、16、64、256、…（cₙ＝4ⁿ）
解法を、順番に。
和の式は、1つずらして引く
n＝1ではS₁＝a₁なので、a₁＝2a₁−4からa₁＝4です。次にSₙ₊₁−Sₙ＝aₙ₊₁を使います。右辺も引き算するとaₙ₊₁＝2aₙ₊₁−2aₙ、つまりaₙ₊₁＝2aₙになります。
初項4、公比2だからaₙ＝4×2ⁿ⁻¹＝2ⁿ⁺¹。bₙの公差は(13−4)/3＝3なので、bₙ＝4＋3(n−1)＝3n＋1です。
共通項は「3で割って1余る2の累乗」
bₙは4、7、10、13、…と続き、3で割ると1余ります。一方、2の累乗を3で割った余りは2、1、2、1、…と交互。したがって共通項になるのは偶数乗の2、つまり4の累乗です。
最初の共通項は4、16、64。どれもbₙに実際に現れます。共通項のn番目はcₙ＝4ⁿで、その和には等比数列の和の公式を使います。「共通項のn番目」と、元の数列の「第n項」は別の番号です。
比が1以上であることを確認する
aₙ/bₙが整数になる条件を、分母が2の累乗であることに置き換える前に、分母が分子を超えないことを押さえます。初項の比は1で、隣り合う比の差は正です。よって比はずっと1以上になります。
分子は2の累乗ですから、割り切れる正の分母にも2以外の素因数はありません。逆にbₙが2の累乗なら、比が1以上という事実により分母の指数が分子の指数以下となり、確かに割り切れます。必要条件だけで止めないのが大切です。
整数となる項の添字を、別の文字で整理する
整数になるn番目の項をdₙ＝aₖ/bₖとします。3k＋1が2の累乗で、3で割って1余るので3k＋1＝4ⁿ。ここからk＝(4ⁿ−1)/3となります。最初の添字は1、5、21です。
dₙ＝2ᵏ⁺¹/2²ⁿ＝2ᵏ⁺¹⁻²ⁿなので、底2の対数を取ると指数だけが残ります。巨大なdₙそのものを計算せず、対数で整理するのが最後の誘導です。
解き方、つかめた？
ここからはCurigo独自の確認クイズです。選んだあと、理由まで確かめましょう。
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よくある疑問
共通項の最初の3つは？
4、16、64です。一般項はcₙ＝4ⁿで、元の2つの数列の添字は一致する必要がありません。
dₙそのものを計算する必要がありますか？
この設問はlog₂dₙを求めるため、dₙを2の累乗で表し、その指数を整理すれば十分です。
出典・解答の確認
出題：中央大学 2026年度 5学部共通選抜（2026-02-09実施）数学 第Ⅲ問。問題文・図・選択肢は大学公式PDFの該当箇所を抜粋して掲載しています。「条件を整理する」はCurigoによる要約です。
解説・計算図・確認クイズはCurigoが独自に作成。公開されている解答例との照合に加え、代入・式変形・全列挙・数値計算など、設問に応じた検算を行っています。図の操作は理解を助けるためのもので、証明は本文に示しています。