curigo
問題文・図
5学部共通選抜 第Ⅱ問
出題：中央大学。公式問題の該当箇所を抜粋。原本PDF ↗
条件を整理する
1辺の長さ1の正十二角形から3頂点を無作為に選んで三角形T₁を作り、残る9頂点から3つ選んでT₂を作ります。T₁の形の確率と、T₁・T₂の共有点の個数Nを求める問題です。条件を解説用に要約しています。
正十二角形から作る三角形の確率は、何を数える？
全体は220通り。二等辺三角形は重複を直して52通りなので13/55、直角三角形は60通りなので3/11です。残りの頂点で作る三角形との共有点数Nは、P(N＝0)＝3/10、P(N＝6)＝1/10、期待値は3です。
20通りの色分けを、順に見てみよう
12頂点のうち6頂点を固定した代表図です。スライダーでT₁とT₂の分け方を変更すると、共有点の数が変わります。残る6点は薄い点で表示しています。
1 / 20 通り目 · 共有点 N＝0
解法を、順番に。
全体は220通り。正三角形は4通り
T₁は12頂点から順序をつけず3つ選ぶので、全体は12C3＝220通りです。正三角形にするには頂点を4つおきに選びます。出発点は12通りありますが、1つの三角形を3つの頂点から数えているので12÷3＝4通り。
長さ1の辺を2つ持つ二等辺三角形は、3つの連続した頂点でできます。真ん中の頂点を決めれば両端が決まるため12通りです。ここでは正三角形のような重複はありません。
二等辺三角形は、正三角形の重複を取り除く
頂角の頂点を1つ固定します。そこから円周上を左右に1、2、3、4、5個ずつ進んだ2頂点を選べば、等しい2辺ができます。左右6個では同じ対頂点になるので使えません。いったん12×5＝60と数えます。
通常の二等辺三角形は頂角が1つですが、正三角形はどの頂点も頂角として扱われ、3回ずつ数えられています。4個の正三角形について余分な2回を引くと52通りになります。正三角形も二等辺三角形に含めます。
直角三角形は直径から数える
円周角の定理より、内接する直角三角形の斜辺は円の直径です。正十二角形の対頂点の組は6組。斜辺を決めたら、3つ目の頂点は残り10個から選べます。直角三角形の斜辺は1本しかないため、ここで重複は発生しません。
2つの三角形は、6頂点の色分けに整理する
まず使用する6頂点の集合を固定します。その円周上の並びに沿って、T₁の3頂点を青、T₂を緑に塗ると、色分けは6C3＝20通り。どの6頂点を選んでも、辺が交差するかどうかは頂点の円周上の順序だけで決まります。
青3個が円周上でひと続きになる色分けは6通り。このときN＝0です。青と緑が完全に交互に並ぶ色分けは2通りで、N＝6になります。残り12通りはN＝4。下の実験で20通りを順番に見ると、分類を確かめられます。
したがって確率は6/20、12/20、2/20。期待値は「共有点の個数×その確率」を足して3になります。図形が重なる面積を数えているのではなく、辺どうしの共有点を数えています。
解き方、つかめた？
ここからはCurigo独自の確認クイズです。選んだあと、理由まで確かめましょう。
0 / 3 問を確認
よくある疑問
二等辺三角形に正三角形を含めますか？
含めます。二等辺三角形52通りの中に、正三角形4通りが含まれています。
共有点が2個になる場合はありますか？
この条件ではありません。円周上の互いに異なる6頂点を2つの三角形に分ける20通りを調べると、共有点数は0、4、6のいずれかです。
出典・解答の確認
出題：中央大学 2026年度 5学部共通選抜（2026-02-09実施）数学 第Ⅱ問。問題文・図・選択肢は大学公式PDFの該当箇所を抜粋して掲載しています。「条件を整理する」はCurigoによる要約です。
解説・計算図・確認クイズはCurigoが独自に作成。公開されている解答例との照合に加え、代入・式変形・全列挙・数値計算など、設問に応じた検算を行っています。図の操作は理解を助けるためのもので、証明は本文に示しています。