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問題文・図
商学部B 第Ⅰ問
出題：中央大学。公式問題の該当箇所を抜粋。原本PDF ↗
条件を整理する
二次式f(x)が、すべての実数xについて f(x²)=x²f(x+1)−3x³−x² を満たします。(1)f(0),f(1)、(2)二次式f(x)を求める問題です。
f(x²)=x²f(x+1)−3x³−x² を満たす二次式は？
f(0)=0、f(1)=2、f(x)=x²+xです。x=0とx=−1で先に関数値を決め、x=1からf(2)=6を求めます。二次式の係数を決めた後、元の恒等式に戻して確認します。
代入するxを変えて、両辺を比べる
求めたf(x)=x²+xを使って数値を確かめます。x=−1・0・1の役割も表示。数値一致は検算で、恒等式の証明は本文の展開です。
f(x)=x²+x を検算
代入する値
左辺 f(x²)
右辺 x²f(x+1)−3x³−x²
x=0：f(0)を取り出す
x=0 · 左辺 0＝右辺 0。x=0：f(0)を取り出す
解法を、順番に。
x=0でf(0)を取り出す
x=0を代入すると、右辺のx²が掛かった項も、残りの多項式も消えます。左辺だけがf(0)として残るため、f(0)=0です。
f(x)をax²+bx+cと置くなら、ここでc=0と決まります。まだaやbを展開する必要はありません。
x=−1なら、既知のf(0)につながる
x+1=0となるx=−1を選ぶと、右辺に先ほど求めたf(0)が現れます。左辺はf(1)なので、f(1)=0+3−1=2です。
次にx=1を代入すれば、f(1)=f(2)−4。f(1)=2を用いてf(2)=6と分かります。新しい関数値を、既知の値につないで増やしています。
3点の値で二次式の係数を決める
f(x)=ax²+bxと置き、f(1)=2、f(2)=6を代入します。a+b=2と4a+2b=6を解くとa=1、b=1です。
「二次式」という条件があるので、相異なる3点の値がそろえば係数を決定できます。この条件がなければ、3点だけから関数全体を決めることはできません。
見つけた候補を、すべてのxで検算する
値をいくつか代入しただけでは、最初の条件をすべて満たす保証はまだ確認できていません。最後にf(x)=x²+xを元の両辺へ入れます。
左辺はx⁴+x²。右辺も展開するとx⁴+x²になります。これで候補が実際に恒等式を満たすことが分かり、解答が完結します。
解き方、つかめた？
ここからはCurigo独自の確認クイズです。選んだあと、理由まで確かめましょう。
0 / 3 問を確認
よくある疑問
x=−1を選ぶ理由は？
x+1が0となり、すでに分かっているf(0)を使ってf(1)を求められるからです。
係数比較でも解ける？
解けます。定数項を先に0と決めてから展開すると、比較する係数が少なくなります。
出典・解答の確認
出題：中央大学 2026年度 商学部B（2026年2月13日実施）数学 第Ⅰ問。問題文・図・選択肢は大学公式PDFの該当箇所を抜粋して掲載しています。「条件を整理する」はCurigoによる要約です。
解説・計算図・確認クイズはCurigoが独自に作成。公開されている解答例との照合に加え、代入・式変形・全列挙・数値計算など、設問に応じた検算を行っています。図の操作は理解を助けるためのもので、証明は本文に示しています。