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問題文・図
商学部B 第Ⅲ問
出題：中央大学。公式問題の該当箇所を抜粋。原本PDF ↗
条件を整理する
y=m₁xとy=m₂xが直交し、m₁>0>m₂。それぞれy=1と交わる点をP,Qとし、PQ=4のとき、両点の座標をすべて求めます。
原点を通る直交2直線がy=1上に作る、距離4の交点は？
P=(2+√3,1),Q=(−2+√3,1)、またはP=(2−√3,1),Q=(−2−√3,1)です。P=(p,1),Q=(q,1)と置けば、直交からpq=−1、距離からp−q=4を得ます。符号は同順です。
距離4を保ち、直交する位置を探す
P=(p,1),Q=(p−4,1)を動かします。スライダーで位置を変え、内積pq+1が0になる2か所を比較。目盛の刻みで厳密な根に届かなくても、正確な位置を点線で表示します。
p=2、q=-2 · PQ=4 · 内積 -3 · 角度 126.87°
解法を、順番に。
点の座標を未知数にする
P=(p,1)、Q=(q,1)と置きます。y=1との交点なのでp=1/m₁>0、q=1/m₂<0です。Pは右、Qは左にあります。
高さが等しいので距離は|p−q|。すでにp>qが分かっているため絶対値を外し、p−q=4と書けます。
直交条件を内積0で表す
原点からP,Qへのベクトルは(p,1)と(q,1)。この2本が直交するので、内積pq+1が0です。したがってpq=−1になります。
傾きで解いてもm₁m₂=−1から同じ条件になります。本問の直線は傾きが定義される形なので、垂直な直線の例外に悩む必要はありません。
距離条件を代入し、2つの解を求める
q=p−4をpq=−1へ入れるとp²−4p+1=0です。解の公式でp=2±√3となり、q=p−4からq=−2±√3になります。
pのプラスに対してqもプラス、pのマイナスに対してqもマイナスです。独立に符号を選んで4通りと数えないようにします。
両方の配置を、元の条件で確かめる
2−√3も正、−2+√3も負なので、どちらの組も符号条件を満たします。両方ともp−q=4、pq=−1であることを確認できます。
2つの配置は、原点を通る縦軸で反転してPとQを付け直した関係です。図を左右に動かすと、距離を保ったまま直交する位置が2か所ある様子が見えます。
解き方、つかめた？
ここからはCurigo独自の確認クイズです。選んだあと、理由まで確かめましょう。
0 / 3 問を確認
よくある疑問
直交すると傾きの積はなぜ−1？
傾きが定義される2直線の方向ベクトル(1,m₁),(1,m₂)の内積が0なので、1+m₁m₂=0です。
答えは4組？
2組です。pとqはq=p−4で結ばれ、±は同順で選びます。
出典・解答の確認
出題：中央大学 2026年度 商学部B（2026年2月13日実施）数学 第Ⅲ問。問題文・図・選択肢は大学公式PDFの該当箇所を抜粋して掲載しています。「条件を整理する」はCurigoによる要約です。
解説・計算図・確認クイズはCurigoが独自に作成。公開されている解答例との照合に加え、代入・式変形・全列挙・数値計算など、設問に応じた検算を行っています。図の操作は理解を助けるためのもので、証明は本文に示しています。