curigo
問題文・図
経済学部Ⅰ 第Ⅱ問
出題：中央大学。公式問題の該当箇所を抜粋。原本PDF ↗
条件を整理する
直線ℓ₁：2x＋y＋4＝0、ℓ₂：11x−2y＋7＝0について、交点、各直線に平行な単位ベクトル、角を二等分する2直線の方程式を求めます。条件を解説用に要約しています。
2直線の角の二等分線はどう求める？
交点は(−1,−2)。平行な単位ベクトルの例は(1,−2)/√5と(2,11)/(5√5)です。2直線までの距離を等しくすると、角の二等分線はx−7y−13＝0と7x＋y＋9＝0になります。
二等分線上なら、2つの距離が一致する
青と緑が元の2直線です。二等分線を切り替え、点Pを動かして、Pからそれぞれの直線へ下ろした垂線の長さを比較してください。
距離① 1.897 ＝ 距離② 1.897
解法を、順番に。
交点は連立方程式で決める
第1式からy＝−2x−4。これを第2式に代入すると15x＋15＝0なのでx＝−1、y＝−2です。角の二等分線はどちらもこの点を通ります。最後の答えに代入する検算にも使いましょう。
方向ベクトルを、その長さで割る
直線ax＋by＋c＝0の法線ベクトルは(a,b)で、方向ベクトルには(b,−a)が使えます。ℓ₁には(1,−2)、ℓ₂には(2,11)を選べます。向きは逆でも構いません。
長さはそれぞれ√5と√125＝5√5。長さで割ると単位ベクトルになります。「直線の係数をそのまま方向ベクトルにする」誤りに注意してください。その係数は垂直方向を向いています。
点と直線の距離を等しくする
点(x,y)が角の二等分線上にある条件は、ℓ₁までの距離とℓ₂までの距離が等しいことです。距離公式の分母は、xとyの係数の二乗和の平方根。定数項は分母に入れません。
両辺に5√5を掛けると5|2x＋y＋4|＝|11x−2y＋7|。絶対値が等しい条件を、符号が同じ場合と逆の場合の2つに分けます。
2本の答えを、交点と直交性で検算する
＋の場合はx−7y−13＝0、−の場合は7x＋y＋9＝0となります。どちらにも(−1,−2)を代入すると0。さらに傾きは1/7と−7で、その積が−1なので2本は直交します。
単位ベクトルの和と差を使う別解もあります。長さをそろえたu₁とu₂を足す・引くと、それぞれ(7,1)、(3,−21)に平行な方向となり、同じ2本の二等分線が得られます。単位化せずに足すと角度を均等に分けられない理由も、この図で考えてみましょう。
解き方、つかめた？
ここからはCurigo独自の確認クイズです。選んだあと、理由まで確かめましょう。
0 / 3 問を確認
よくある疑問
単位ベクトルの符号が逆でも正解ですか？
はい。直線に平行な単位ベクトルは正反対の2つがあり、設問はそのうち1つを求めています。
傾きの平均を取ってよいですか？
一般には使えません。傾きは角度そのものではないため、距離が等しい条件や単位ベクトルを使います。
出典・解答の確認
出題：中央大学 2026年度 経済学部Ⅰ（2026-02-14実施）数学 第Ⅱ問。問題文・図・選択肢は大学公式PDFの該当箇所を抜粋して掲載しています。「条件を整理する」はCurigoによる要約です。
解説・計算図・確認クイズはCurigoが独自に作成。公開されている解答例との照合に加え、代入・式変形・全列挙・数値計算など、設問に応じた検算を行っています。図の操作は理解を助けるためのもので、証明は本文に示しています。