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問題文・図
経済学部Ⅰ 第Ⅲ問
出題：中央大学。公式問題の該当箇所を抜粋。原本PDF ↗
条件を整理する
f(x)＝x³−3x、a≠0とします。点(a,f(a))での接線、接点以外の曲線との共有点を求め、さらにa＞0の場合の囲まれた面積をaで表す問題です。条件を解説用に要約しています。
f(x)＝x³−3xの接線と曲線が囲む面積は？
a＞0のとき、面積は27a⁴/4です。接線はy＝(3a²−3)x−2a³、接点以外の交点は(−2a,−8a³＋6a)。曲線と接線の差を(x−a)²(x＋2a)と因数分解すると、積分区間と上下関係が決まります。
接点を動かして、面積の増え方をつかもう
a＞0の範囲で接点を動かせます。青い曲線と緑の接線の間が求める面積です。下の表示は数値積分ではなく、導いた式27a⁴/4で計算しています。
a＝1 · もう1つの交点 x＝-2 · 面積＝6.75
解法を、順番に。
接線は、傾きと通る点から書く
導関数はf′(x)＝3x²−3なので、x＝aでの傾きは3a²−3です。点(a,a³−3a)を通る直線として式を書き、定数項を整理します。f(a)をそのまま切片にしないようにしましょう。
接点は重解。差の式を因数分解する
曲線と接線を連立し、右辺を一方へ移すとx³−3a²x＋2a³＝0です。接点のx＝aは重解なので、(x−a)²を因子に持ちます。展開して確かめると残りはx＋2aになります。
接点以外ではx＝−2a。これを元の曲線に代入するとy＝−8a³＋6aです。a≠0という条件により、−2aとaは異なり、確かに別の交点になります。
差の符号で、上から下を引く
a＞0なので、左の交点は−2a、右の接点はaです。この区間では(x−a)²≧0かつx＋2a≧0。したがって曲線−接線≧0となり、曲線が上にあります。グラフの見た目だけに頼らず、因数の符号で上下関係を確認できます。
積分するのはfだけでも接線だけでもなく、2つの差です。符号を確かめたので絶対値を外し、−2aからaまで積分します。
aを2倍にすると、面積は16倍になる
a＝1では面積27/4、a＝2では108です。横の長さがaに比例し、曲線と接線の縦の差がa³に比例するため、面積はa⁴に比例します。横幅だけを見て2倍と判断しないことがポイントです。
置換x＝atでも確認できます。差はa³(t−1)²(t＋2)、dx＝a dtとなり、積分の前にa⁴が出ます。高校数学の定積分の計算と、図形の拡大の見方が結びつく部分です。
解き方、つかめた？
ここからはCurigo独自の確認クイズです。選んだあと、理由まで確かめましょう。
0 / 3 問を確認
よくある疑問
なぜa＝0を除外するのですか？
a＝0では曲線と接線の交点が原点だけになり、もう1つの異なる交点がなくなるためです。
積分では曲線と接線のどちらを上にしますか？
a＞0で−2a≦x≦aの範囲では曲線が上です。差(x−a)²(x＋2a)が非負であることから確認できます。
出典・解答の確認
出題：中央大学 2026年度 経済学部Ⅰ（2026-02-14実施）数学 第Ⅲ問。問題文・図・選択肢は大学公式PDFの該当箇所を抜粋して掲載しています。「条件を整理する」はCurigoによる要約です。
解説・計算図・確認クイズはCurigoが独自に作成。公開されている解答例との照合に加え、代入・式変形・全列挙・数値計算など、設問に応じた検算を行っています。図の操作は理解を助けるためのもので、証明は本文に示しています。