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問題文・図
5学部共通選抜 第Ⅳ問
出題：中央大学。公式問題の該当箇所を抜粋。原本PDF ↗
条件を整理する
f(x)＝−x³＋4x²−4xの極大点Aを求め、fと原点O・点Aだけを共有する二次関数gを決めます。さらにfとgの小さい方を取るhについて、h(x)＝kの解の個数と、直線y＝−xとの面積を調べます。条件を解説用に要約しています。
h(x)＝kが異なる3つの実数解を持つ範囲は？
−2＜k＜0です。h(x)はx≦2で2x²−4x、x≧2で−x³＋4x²−4xになります。y＝−xとの交点のx座標は0、3/2、3で、2つの囲まれた面積は9/8と49/24です。
水平線を動かして、交点を数えよう
kを動かすと、h(x)との交点が表示されます。境界のk＝−2とk＝0も試して、なぜ不等号に等号がつかないか確かめましょう。
k＝-1 → 異なる実数解 3個（x ≈ 0.293, 1.707, 2.618）
解法を、順番に。
三次関数の増減から極大点Aを決める
fを微分すると、導関数の零点は2/3と2です。符号は負・正・負と変わるため、x＝2/3で極小、x＝2で極大。f(2)＝0よりA＝(2,0)です。導関数が0になることだけでは極大・極小の区別はつきません。
共有点が2つだけ、という条件でgを決める
gは(0,0)と(2,0)を通る二次関数なので、g(x)＝ax(x−2)、a≠0と書けます。f−gを因数分解すると、交点の候補のx座標は0、2、2−aです。
共有点がOとAだけになるには、3つ目の候補が0または2に重なる必要があります。a＝2または0ですが、a＝0では二次関数にならないため除外。したがってg(x)＝2x²−4xです。
小さい方のグラフを選び、水平線と交わらせる
このgではf−g＝−x²(x−2)。x＜2でf≧g、x＞2でf≦gなので、hは左側が二次関数g、右側が三次関数fです。x＝0でもfとgは等しくなりますが、大小は入れ替わりません。
左の放物線の頂点は(1,−2)。−2＜k＜0なら、水平線y＝kは左の放物線と2回、x＞2の下がる三次曲線と1回交わります。k＝−2では接する点が1つにまとまり、k＝0ではx＝2が重なるため、両端を含みません。
面積は交点と、式の切り替わりで区切る
x≦2では2x²−4x＝−xからx＝0、3/2。x≧2では−x(x−2)²＝−xを解き、範囲に入るx＝3を採用します。三次式から出るx＝0、1は、この枝の範囲外なので使いません。
0から3/2では直線が上。3/2から3ではhが上ですが、途中のx＝2でhの式が変わります。よって2つ目の面積は積分を2本に分けます。交点の一覧だけを見て、3/2から3まで同じ式で積分しないようにしましょう。
解き方、つかめた？
ここからはCurigo独自の確認クイズです。選んだあと、理由まで確かめましょう。
0 / 3 問を確認
よくある疑問
h(x)は大きい方を選ぶ関数ですか？
小さい方です。f≦gならfを、g≦fならgを採用します。
k＝0は3解になる範囲に含まれますか？
含まれません。異なる解はx＝0と2の2つで、接続点x＝2を二重に数えることはできません。
出典・解答の確認
出題：中央大学 2026年度 5学部共通選抜（2026-02-09実施）数学 第Ⅳ問。問題文・図・選択肢は大学公式PDFの該当箇所を抜粋して掲載しています。「条件を整理する」はCurigoによる要約です。
解説・計算図・確認クイズはCurigoが独自に作成。公開されている解答例との照合に加え、代入・式変形・全列挙・数値計算など、設問に応じた検算を行っています。図の操作は理解を助けるためのもので、証明は本文に示しています。