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問題文・図
基幹理工・社会理工・先進理工学部（併用） 第Ⅱ問(1)(2)
出題：中央大学。公式問題の該当箇所を抜粋。原本PDF ↗
条件を整理する
I=∫₋₁¹|x³+ax²+bx|dx、J=∫₋₁¹|x³−ax²+bx|dx、K=∫₋₁¹|x³+bx|dx と定めます。(1) I+J≥2K と (2) I=J を証明する設問です。
I+J≥2K と I=J はどう示す？
各xで |u+v|+|u−v|≥2|u| を使います。u=x³+bx、v=ax² と置いて積分すれば I+J≥2K。xを−xに置き換えるとIとJが等しくなります。
aを変えて2つの積分と下限を比べる
数値の例で I と J が一致し、K を下回らないことを確認します。証明は上の点ごとの不等式です。
a=0 · I=0.25 · J=0.25 · 2K=0.5
解法を、順番に。
同じ部分と逆符号の部分を分ける
u=x³+bx、v=ax²と置きます。Iの中身はu+v、Jの中身はu−vです。この対称性が証明の入口です。
点ごとの三角不等式を積分する
2u=(u+v)+(u−v)です。三角不等式より各xで2|u|≤|u+v|+|u−v|。−1から1まで積分すれば求める不等式になります。
x→−xでIとJを一致させる
Iの積分でxを−xへ置き換えます。区間[−1,1]は同じで、x³とbxの符号が変わります。絶対値を取るとax²の符号だけが逆になったJの中身と一致します。よってI=Jです。
解き方、つかめた？
ここからはCurigo独自の確認クイズです。選んだあと、理由まで確かめましょう。
0 / 3 問を確認
よくある疑問
場合分けは不要？
この2つの関係を示すだけなら点ごとの三角不等式と対称性で十分です。
IとJが等しいのはa=0だけ？
任意の実数a,bで等しくなります。積分区間の対称性が理由です。
出典・解答の確認
出題：中央大学 2026年度 基幹理工・社会理工・先進理工学部（併用）（2026年2月8日実施）数学 第Ⅱ問(1)(2)。問題文・図・選択肢は大学公式PDFの該当箇所を抜粋して掲載しています。「条件を整理する」はCurigoによる要約です。
大学の公開資料はこの設問の数値解答を示さず出題の意図を説明しています。以下の答えと証明はCurigoの独自解答です。 解説・計算図・確認クイズはCurigoが独自に作成。代入・式変形・数値計算など、設問に応じた検算を行っています。図の操作は理解を助けるためのもので、証明は本文に示しています。