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問題文・図
基幹理工・社会理工・先進理工学部（併用） 第Ⅱ問(3)〜(5)
出題：中央大学。公式問題の該当箇所を抜粋。原本PDF ↗
条件を整理する
I=∫₋₁¹|x³+ax²+bx|dx、K=∫₋₁¹|x³+bx|dx。(3) b≥0、(4) b<0 でKを最小にするbと値、(5) Iの最小値を求めます。
KとIの最小値はいくつ？
K(b)=∫₀¹|u+b|du は b=−1/2 で最小値1/4です。前半で示したI≥KよりIも1/4以上。a=0、b=−1/2で等号が成立します。
bを動かして折れ目と面積を確かめる
u+bの0点が区間[0,1]の内側に入ると面積の式が変わります。最小点はb=−1/2です。
b=-0.5 · K(b)=0.25。b=−0.5で最小値0.25。
解法を、順番に。
偶関数にしてu=x²へ置き換える
|x³+bx|は偶関数です。0から1までの積分を2倍し、u=x²と置きます。2x dx=duなのでK=∫₀¹|u+b|duになります。
折れ目の位置で式を分ける
b≥0ではu+b≥0だからK=b+1/2。最小はb=0で1/2です。−1≤b<0ではu=−bで符号が切り替わり、K=b²+b+1/2となります。b≤−1では全区間で負なのでK=−b−1/2です。
平方完成とI≥Kで答えを確定する
中間の区間でK=(b+1/2)²+1/4。b=−1/2がb<0の最小点で値は1/4です。第Ⅱ問(1)(2)からI=JかつI+J≥2KなのでI≥K。a=0とすればI=Kとなり1/4を実現します。
解き方、つかめた？
ここからはCurigo独自の確認クイズです。選んだあと、理由まで確かめましょう。
0 / 3 問を確認
よくある疑問
b≥0での最小値は？
b=0のとき1/2です。全実数で見るとb=−1/2の1/4がさらに小さくなります。
なぜI≥K？
原点対称の区間でI=Jです。さらにI+J≥2KなのでI≥Kとなります。
出典・解答の確認
出題：中央大学 2026年度 基幹理工・社会理工・先進理工学部（併用）（2026年2月8日実施）数学 第Ⅱ問(3)〜(5)。問題文・図・選択肢は大学公式PDFの該当箇所を抜粋して掲載しています。「条件を整理する」はCurigoによる要約です。
大学の公開資料はこの設問の数値解答を示さず出題の意図を説明しています。以下の答えと証明はCurigoの独自解答です。 解説・計算図・確認クイズはCurigoが独自に作成。代入・式変形・数値計算など、設問に応じた検算を行っています。図の操作は理解を助けるためのもので、証明は本文に示しています。