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問題文・図
基幹理工・社会理工・先進理工学部（併用） 第Ⅲ問
出題：中央大学。公式問題の該当箇所を抜粋。原本PDF ↗
条件を整理する
f₀=1、fₙ₊₁=fₙ+xⁿ⁺¹/(n+1)!、gₙ(x)=fₙ(x)fₙ(−x)。(1)多項式と導関数、(2)偶数次の正値と奇数次の単調性、(3)(4)導関数の評価、(5)|x|≤1での極限を問います。
fₙ(x)fₙ(−x)が1へ近づく理由は？
fₙ(x)=Σₖ₌₀ⁿxᵏ/k!とするとgₙ(x)=fₙ(x)fₙ(−x)です。|x|≤1で|gₙ′(x)|≤6/n!、gₙ(0)=1。よって|gₙ(x)−1|≤6/n!→0です。
nを増やして積gₙ(x)を比較
nを変えると区間[−1,1]でのgₙの曲線と1との差を確認できます。図の一致は証明ではなく上界6/n!が理由です。
n=3 · gₙ(0)=1 · 上界6/n! = 1
解法を、順番に。
fₙの形と導関数を確認する
漸化式を足し上げるとfₙ(x)=Σₖ₌₀ⁿxᵏ/k!です。項別微分するとfₙ₊₁′(x)=fₙ(x)となります。
偶数次の正値から奇数次の単調性へ
x≥0ならf₂ₖ(x)の各項は非負で定数項1もあります。x<0ではTaylorの剰余式よりeˣ=f₂ₖ(x)+eᶜx²ᵏ⁺¹/(2k+1)!（cはxと0の間）。剰余は負なのでf₂ₖ(x)>eˣ>0です。f₂ₖは正の最小値を持ち、f₂ₖ₋₁′=f₂ₖ₋₂>0です。奇数次のfは単調増加で±∞へ発散するため実数解は一つです。
積を微分して高次の項を残す
積の微分にfₙ′=fₙ₋₁を使います。fₙ=fₙ₋₁+xⁿ/n!を代入すると共通項が消えます。結果はgₙ′=xⁿ{(−1)ⁿfₙ₋₁(x)−fₙ₋₁(−x)}/n!です。
導関数の上界から一様に1へ近づく
n≥1ならn!≥2ⁿ⁻¹です。|x|≤1で|fₙ(x)|≤Σₖ₌₀ⁿ1/k!<3。前の式から|gₙ′|≤6/n!です。gₙ(0)=1なので平均値の定理で|gₙ(x)−1|≤6|x|/n!≤6/n!。右辺はxによらず0へ近づきます。
解き方、つかめた？
ここからはCurigo独自の確認クイズです。選んだあと、理由まで確かめましょう。
0 / 3 問を確認
よくある疑問
偶数次のfが正といえる理由は？
非負のxでは項ごとに確認できます。負のxでは指数関数のTaylor剰余が負になるためf₂ₖ(x)>eˣ>0です。
近づき方はxによらない？
|x|≤1の全域で共通の上界6/n!が使えます。したがって一様に1へ近づきます。
出典・解答の確認
出題：中央大学 2026年度 基幹理工・社会理工・先進理工学部（併用）（2026年2月8日実施）数学 第Ⅲ問。問題文・図・選択肢は大学公式PDFの該当箇所を抜粋して掲載しています。「条件を整理する」はCurigoによる要約です。
大学の公開資料はこの設問の数値解答を示さず出題の意図を説明しています。以下の答えと証明はCurigoの独自解答です。 解説・計算図・確認クイズはCurigoが独自に作成。代入・式変形・数値計算など、設問に応じた検算を行っています。図の操作は理解を助けるためのもので、証明は本文に示しています。