2曲線の共有点を対称式で数える｜中央大学2026 理工系併用数学第Ⅰ問

中央大学 2026年度 · 数学

問題文・図

基幹理工・社会理工・先進理工学部（併用）第Ⅰ問

出題：中央大学。公式問題の該当箇所を抜粋。原本PDF ↗

条件を整理する

円 x²+y²=10 と曲線 x³+y³=28 の共有点を調べます。先に x²+y² と x³+y³ を s=x+y、t=xy で表し、共有点の個数を求める設問です。

まず、答えから

共有点は4個です。s=x+y と t=xy に直すと s³−30s+56=0。実数座標になる条件 20−s²≥0 を満たす s は4と−2+3√2です。それぞれから x と y の順序が異なる2点を得ます。

さわって理解する

sの候補を選ぶと判別式20−s²が変わります。正なら座標が異なる2点、負なら実数の共有点はありません。

s=4 · 判別式4 · 共有点2個

STEP 01

x²+y²=s²−2t、x³+y³=s³−3stです。最初の式から t=(s²−10)/2 を得ます。これを二つ目の式へ代入して s の三次方程式を作ります。

x^2+y^2=s^2-2t=10

x^3+y^3=s^3-3st=28

s^3-30s+56=0

STEP 02

s=4 が一つの根です。割ると (s−4)(s²+4s−14)=0 となり、ほかに s=−2±3√2 が出ます。ここでは候補が3つあるだけで共有点の数はまだ決まりません。

(s-4)(s^2+4s-14)=0

s=4,\ -2+3\sqrt2,\ -2-3\sqrt2

STEP 03

xとyは z²−sz+t=0 の2根です。判別式は s²−4t=20−s²。s=−2−3√2 は |s|>√20 なので実数の点を生みません。残る2つのsでは判別式が正です。各sにつき (x,y) と (y,x) の2点があるため合計4点です。

\Delta=s^2-4t=20-s^2

2\text{点}+2\text{点}=4\text{点}

3問で、思い出す

ここからはCurigo独自の確認クイズです。選んだあと、理由まで確かめましょう。

0 / 3 問を確認

なぜ和と積を使うの？

xとyを交換しても変わらない条件だからです。sとtで2式を整理できます。

三次方程式の3つの根から6点にならない？

一つの根では z²−sz+t=0 の判別式が負です。実数の座標になりません。

出題：中央大学 2026年度基幹理工・社会理工・先進理工学部（併用）（2026年2月8日実施）数学第Ⅰ問。問題文・図・選択肢は大学公式PDFの該当箇所を抜粋して掲載しています。「条件を整理する」はCurigoによる要約です。

大学の公開資料はこの設問の数値解答を示さず出題の意図を説明しています。以下の答えと証明はCurigoの独自解答です。解説・計算図・確認クイズはCurigoが独自に作成。代入・式変形・数値計算など、設問に応じた検算を行っています。図の操作は理解を助けるためのもので、証明は本文に示しています。