放物線の接線と法線が作る面積の最小値｜学習院大学2025 理学部数学第4問

学習院大学 2025年度 · 数学

問題文・図

理学部コア試験第4問(1)〜(3)

理学部コア試験の数学。第1〜4問のうち記事に対応する大問を掲載します。

出題：学習院大学。公式問題の該当箇所を抜粋。原本PDF ↗

条件を整理する

C:y=x²+7上のP(t,t²+7)、t>0。Pでの接線Lと法線Nのx軸との交点をQ,Rとし、三角形PQRの面積Sを求める。さらに4tSの整数式とSの最小値を示す。

まず、答えから

t=1/√5のときです。S=(4t²+1)(t²+7)²/(4t)で最小値は2916√5/125です。

さわって理解する

点Pの位置で三角形の底辺と高さが変わる様子を確認します。

t=0.447 · 面積S=52.163（最小）

STEP 01

y'=2xなので接点での接線の傾きは2tです。法線はその負の逆数−1/(2t)。どちらもP(t,t²+7)を通る条件で式を出します。

L:y=2tx-t^2+7,\qquad N:y=-\frac{x}{2t}+t^2+\frac{15}{2}

STEP 02

接線のx切片はQのx座標(t²−7)/(2t)。法線のx切片はRのx座標2t(t²+15/2)です。底辺QRに対する高さはPのy座標t²+7。QRの長さは((4t²+1)(t²+7))/(2t)に整理できます。

この因数分解から4tSは(t²+7)²で割り切れる整数係数の多項式だと分かります。

S=\frac{(4t^2+1)(t^2+7)^2}{4t}

4tS=(4t^2+1)(t^2+7)^2

STEP 03

Sを微分して正の因子を外すと符号を決めるのは5t²−1です。0<t<1/√5で減少し、t>1/√5で増加します。よってt=1/√5で最小です。代入すると2916√5/125になります。

S'=\frac{t^2+7}{4t^2}(5t^2-1)(4t^2+7)

3問で、思い出す

ここからはCurigo独自の確認クイズです。選んだあと、理由まで確かめましょう。

0 / 3 問を確認

4tSが割り切れるとは？

4tS=(4t²+1)(t²+7)²なので(t²+7)²を因子に持つという意味です。

t=0を候補に入れない理由は？

問題でt>0と指定され、法線の傾き−1/(2t)もt=0では定義できません。

出題：学習院大学 2025年度理学部コア試験（2025年2月7日実施）数学第4問(1)〜(3)。問題文・図・選択肢は大学公式PDFの該当箇所を抜粋して掲載しています。「条件を整理する」はCurigoによる要約です。

解説・計算図・確認クイズはCurigoが独自に作成。公開されている解答例との照合に加え、代入・式変形・全列挙・数値計算など、設問に応じた検算を行っています。図の操作は理解を助けるためのもので、証明は本文に示しています。