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問題文・図
理学部コア試験 第2問
理学部コア試験の数学。第1〜4問のうち記事に対応する大問を掲載します。
出題：学習院大学。公式問題の該当箇所を抜粋。原本PDF ↗
条件を整理する
実数x,yがx²+y²≤4かつx+y≥1を満たす。x+2yの最大値と最小値、そのときのx,yを求める。
最大・最小と座標は？
最大値は2√5で(x,y)=(2/√5,4/√5)。最小値は(3−√7)/2で(x,y)=((1+√7)/2,(1−√7)/2)です。
極値の位置を図で切り替える
最大は円の接点。最小は円と直線の交点です。
最小値 (3−√7)/2
極値
解法を、順番に。
領域を円と半平面の共通部分として読む
x²+y²≤4は半径2の円の内部です。x+y≥1は直線の上側に残る半平面。目的式x+2y=kは傾き−1/2の直線です。円と直線に触れる位置で極値を調べます。
最大は円の接点
Cauchy–Schwarzの不等式からx+2y≤√(x²+y²)√5≤2√5。等号は(x,y)=(2/√5,4/√5)で成立します。この点はx+y=6/√5>1なので許容領域内です。
最小は境界x+y=1と円の交点
円だけを見た最小点は(−2/√5,−4/√5)ですがx+y<1で除外されます。直線x+y=1上でx+2y=2−xを最小にするには、円に入る範囲でxを最大にします。y=1−xを円に代入するとx=(1±√7)/2。大きい方が最小値(3−√7)/2を与えます。
解き方、つかめた？
ここからはCurigo独自の確認クイズです。選んだあと、理由まで確かめましょう。
0 / 3 問を確認
よくある疑問
なぜ最大点は使える？
最大点のx+yは6/√5で1より大きく、両条件を満たすからです。
最小点はどう検算する？
x+y=1とx²+y²=4へ座標を戻し、x+2yを計算します。
出典・解答の確認
出題：学習院大学 2025年度 理学部コア試験（2025年2月7日実施）数学 第2問。問題文・図・選択肢は大学公式PDFの該当箇所を抜粋して掲載しています。「条件を整理する」はCurigoによる要約です。
解説・計算図・確認クイズはCurigoが独自に作成。公開されている解答例との照合に加え、代入・式変形・全列挙・数値計算など、設問に応じた検算を行っています。図の操作は理解を助けるためのもので、証明は本文に示しています。