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問題文・図
理学部コア試験 第1問(1)(2)
理学部コア試験の数学。第1〜4問のうち記事に対応する大問を掲載します。
出題：学習院大学。公式問題の該当箇所を抜粋。原本PDF ↗
条件を整理する
(1) 0からπ/4までcos⁴xを積分する。(2) n>1の整数について1/log₂5+2/logₙ5<4を満たす最大のnを求める。
2つの小問の答えは？
(1) 1/4+3π/32。(2) n=17です。対数はlog₅(2n²)<4に変形できます。
2つの変形を切り替える
積分の次数下げと対数の底の変換を別々に確認します。
cos⁴xを次数下げ
最初の式
変形後
倍角公式で積分しやすい形にします。
積分値：1/4 + 3π/32
設問
解法を、順番に。
(1) cos⁴xは倍角公式で次数を下げる
cos²x=(1+cos2x)/2をもう一度使います。cos⁴x=(3+4cos2x+cos4x)/8です。定数項の積分は3π/32。cos2xの項は1/4、cos4xの項は端点で0になります。
(2) 底を5に揃えて不等式を解く
逆数の変換で1/log₂5=log₅2、1/logₙ5=log₅nです。よってlog₅(2n²)<4。底5は1より大きいので2n²<625です。n<25/√2≒17.68より最大の整数は17。
境界の確認ではn=17は2n²=578<625。n=18は648>625です。
解き方、つかめた？
ここからはCurigo独自の確認クイズです。選んだあと、理由まで確かめましょう。
0 / 3 問を確認
よくある疑問
cos4xの積分はなぜ0？
sin4x/4を0とπ/4で評価すると両端とも0です。
n=18はなぜ不適？
2×18²=648で625より大きいからです。
出典・解答の確認
出題：学習院大学 2025年度 理学部コア試験（2025年2月7日実施）数学 第1問(1)(2)。問題文・図・選択肢は大学公式PDFの該当箇所を抜粋して掲載しています。「条件を整理する」はCurigoによる要約です。
解説・計算図・確認クイズはCurigoが独自に作成。公開されている解答例との照合に加え、代入・式変形・全列挙・数値計算など、設問に応じた検算を行っています。図の操作は理解を助けるためのもので、証明は本文に示しています。