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問題文・図
理学部コア試験 第4問
理学部コア試験の数学。第1〜4問のうち記事に対応する大問を掲載します。
出題：学習院大学。公式問題の該当箇所を抜粋。原本PDF ↗
条件を整理する
複素数平面に正三角形OPQ。Oは原点。Pは実数2を中心とする半径1の円上。Qの複素数zについて虚部が最大になるzを求める。
虚部が最大となるzは？
z=1+i(√3+1)です。上側のQはPを反時計回り60°回転して得られます。
Pを動かしてQの高さを比べる
θを切り替え、60°回転したQの虚部を比べます。
Im(z)=2.732（最大 √3+1）
点Pの角度
解法を、順番に。
Pを円上の点として表す
Pの複素数をw=2+cosθ+i sinθと置きます。QにはPから反時計回りまたは時計回りに60°回転した2候補があります。大きい虚部を作るのは反時計回りの候補です。
虚部の最大値を読み取る
z=2e^{iπ/3}+e^{i(θ+π/3)}です。虚部は√3+sin(θ+π/3)なので最大は√3+1。これはθ=π/6で達成されます。
実部も戻してzを確定する
θ=π/6ならcos(θ+π/3)=0。2e^{iπ/3}の実部は1なのでz=1+i(√3+1)です。時計回りの候補の虚部は−√3+sin(θ−π/3)で最大でも1−√3。上側を超えません。
解き方、つかめた？
ここからはCurigo独自の確認クイズです。選んだあと、理由まで確かめましょう。
0 / 3 問を確認
よくある疑問
時計回りのQを調べなくてよい？
上側との比較は必要です。時計回り側の虚部は最大でも1−√3で、反時計回り側の√3+1より小さいです。
Pはどこにある？
θ=π/6のときP=2+√3/2+i/2です。
出典・解答の確認
出題：学習院大学 2026年度 理学部コア試験（2026年2月7日実施）数学 第4問。問題文・図・選択肢は大学公式PDFの該当箇所を抜粋して掲載しています。「条件を整理する」はCurigoによる要約です。
解説・計算図・確認クイズはCurigoが独自に作成。公開されている解答例との照合に加え、代入・式変形・全列挙・数値計算など、設問に応じた検算を行っています。図の操作は理解を助けるためのもので、証明は本文に示しています。