y=eˣをy軸の周りに回した体積｜学習院大学2026 理学部数学第3問

学習院大学 2026年度 · 数学

問題文・図

理学部コア試験第3問(1)(2)

理学部コア試験の数学。第1〜4問のうち記事に対応する大問を掲載します。

出題：学習院大学。公式問題の該当箇所を抜粋。原本PDF ↗

条件を整理する

y=eˣ、y軸、直線y=e³で囲まれた領域D。(1) 面積。(2) Dをy軸の周りに1回転した立体の体積。

まず、答えから

面積は2e³+1。体積はπ(5e³−2)です。回転体は高さyにおける半径log yの円盤を積み重ねます。

さわって理解する

面積では上下の差。回転体ではy軸からの半径を見ます。

面積 2e³+1

STEP 01

y=eˣがy=e³と交わるのはx=3。上の線がe³、下の曲線がeˣなので差を0から3まで積分します。結果は3e³−(e³−1)=2e³+1です。

\int_0^3(e^3-e^x)\,dx=2e^3+1

STEP 02

yは1からe³まで動きます。y=eˣをx=log yに直すと、y軸から右端までの距離が半径log yです。円盤の面積π(log y)²を積分します。

部分積分を2回行い、(1)で求めた∫log yも利用するとπ(5e³−2)になります。

V=\pi\int_1^{e^3}(\log y)^2\,dy=\pi(5e^3-2)

3問で、思い出す

ここからはCurigo独自の確認クイズです。選んだあと、理由まで確かめましょう。

0 / 3 問を確認

xで回転体を計算できる？

円筒殻法なら可能です。2π∫₀³x(e³−eˣ)dxでも同じ値です。

体積にπが付く理由は？

半径log yの円盤の面積がπ(log y)²だからです。

出題：学習院大学 2026年度理学部コア試験（2026年2月7日実施）数学第3問(1)(2)。問題文・図・選択肢は大学公式PDFの該当箇所を抜粋して掲載しています。「条件を整理する」はCurigoによる要約です。

解説・計算図・確認クイズはCurigoが独自に作成。公開されている解答例との照合に加え、代入・式変形・全列挙・数値計算など、設問に応じた検算を行っています。図の操作は理解を助けるためのもので、証明は本文に示しています。