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問題文・図
理学部コア試験 第2問(1)(2)
理学部コア試験の数学。第1〜4問のうち記事に対応する大問を掲載します。
出題：学習院大学。公式問題の該当箇所を抜粋。原本PDF ↗
条件を整理する
C₁:y=1/x（x<0）上の点PからC₂:y=x²へ引く接線がちょうど2本あることを示す。2接点Q,Rの中点のy座標の最小値を求める。
接線はなぜ2本？中点の最小値は？
P=(−p,−1/p)、p>0と置くと接点のx座標はs²+2ps−1/p=0の2実根です。判別式は正。中点のy座標は2p²+1/pで、最小値は3/∛2です。
Pの位置と中点の高さを見る
pを3つの位置で比べます。谷の位置が最小です。
p=0.63 · 中点のy=2.381（最小 3/∛2）
点Pの位置
解法を、順番に。
(1) 接点sの接線がPを通る条件を作る
放物線y=x²のx=sにおける接線はy=2sx−s²。P=(−p,−1/p)、p>0を代入するとs²+2ps−1/p=0です。判別式は4p²+4/pで常に正。異なる2本の接線があります。
(2) 2接点の中点のy座標を解と係数で求める
接点のx座標をs,tとするとs+t=−2p、st=−1/pです。y座標はs²,t²なので中点の高さは(s²+t²)/2=((s+t)²−2st)/2=2p²+1/pになります。
微分で最小値を確定する
f(p)=2p²+1/pを微分するとf′(p)=4p−1/p²です。p>0でp=1/∛4を境に減少から増加に変わります。代入して最小値3/∛2を得ます。
解き方、つかめた？
ここからはCurigo独自の確認クイズです。選んだあと、理由まで確かめましょう。
0 / 3 問を確認
よくある疑問
判別式が正なら接線も2本？
接点のx座標が異なる2実根になり、接線の傾き2sも異なるため2本です。
p=0を含めない理由は？
Pはy=1/xの負側にありx=0は定義域に入りません。
出典・解答の確認
出題：学習院大学 2026年度 理学部コア試験（2026年2月7日実施）数学 第2問(1)(2)。問題文・図・選択肢は大学公式PDFの該当箇所を抜粋して掲載しています。「条件を整理する」はCurigoによる要約です。
解説・計算図・確認クイズはCurigoが独自に作成。公開されている解答例との照合に加え、代入・式変形・全列挙・数値計算など、設問に応じた検算を行っています。図の操作は理解を助けるためのもので、証明は本文に示しています。